【題目】如圖所示,在三棱錐SABC中,,OBC的中點(diǎn).

1)求證:ABC;

2)求異面直線AB所成角的余弦值;

3)在線段上是否存在一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為;若存在,求的值;若不存在,試說明理由.

【答案】1)見解析;(2;(3)存在,BEBA12,理由見解析

【解析】

1)由題意及所給的邊長設(shè),則SO,AOSAa,得到SOOA,及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直;

2)由題意及圖形特點(diǎn)以O為原點(diǎn),以OAOB,OS所在射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.寫出點(diǎn)的坐標(biāo),利用異面直線所成角的定義求出夾角;

3)由題意屬于開放性的題目,利用假設(shè)存在,利用條件對(duì)于坐標(biāo)設(shè)出未知的變量,利用向量的知識(shí)解出變量的大小,進(jìn)而求出二面角的大。

1在三棱錐SABC中,,OBC的中點(diǎn),

連接SO,顯然SOBC,設(shè)SBa,則SAa,SO,AO,

SO2+OA2SA2,∴SOOA,又∴BCOA0,∴SO⊥平面ABC

2)以O為原點(diǎn),以OAOB,OS所在射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有O00,0),,,

,,∴,

∴異面直線SCAB所成角的余弦值為.

3)假設(shè)存在E滿足條件,設(shè)),則

所以

設(shè)面SCE的法向量為=(x,yz),

,得,

因?yàn)?/span>OA⊥面ABC,所以可取向量=(1,0,0)為面SBC的法向量.

所以,,解得,(舍)

所以,當(dāng)BEBA12時(shí),二面角BSCE的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及,數(shù)碼產(chǎn)品早已走進(jìn)千家萬戶的生活,為了節(jié)約資源,促進(jìn)資源循環(huán)利用,折舊產(chǎn)品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展,電腦使用時(shí)間越長,回收價(jià)值越低,某二手電腦交易市場(chǎng)對(duì)2018年回收的折舊電腦交易前使用的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖,在如圖對(duì)時(shí)間使用的分組中,將使用時(shí)間落入各組的頻率視為概率.

(1)若在該市場(chǎng)隨機(jī)選取3個(gè)2018年成交的二手電腦,求至少有2個(gè)使用時(shí)間在上的概率;

(2)根據(jù)電腦交易市場(chǎng)往年的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點(diǎn)圖,其中(單位:年)表示折舊電腦的使用時(shí)間,(單位:百元)表示相應(yīng)的折舊電腦的平均交易價(jià)格.

(。┯缮Ⅻc(diǎn)圖判斷,可采用作為該交易市場(chǎng)折舊電腦平均交易價(jià)格與使用年限的回歸方程,若,,選用如下參考數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程.

5.5

8.5

1.9

301.4

79.75

385

(ⅱ)根據(jù)回歸方程和相關(guān)數(shù)據(jù),并用各時(shí)間組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的值,估算該交易市場(chǎng)收購1000臺(tái)折舊電腦所需的費(fèi)用

附:參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.參考數(shù)據(jù):,,,,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,直線E交于AB兩點(diǎn),且,其中O為原點(diǎn).

1)求拋物線E的方程;

2)點(diǎn)C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,射線交曲線于點(diǎn),傾斜角為的直線過線段的中點(diǎn)且與曲線交于、兩點(diǎn).

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的參數(shù)方程;

(2)當(dāng)直線傾斜角為何值時(shí),取最小值,并求出最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中,每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn),直到摸出的球中有紅球(不放回),則試驗(yàn)結(jié)束.

(1)求第一次試驗(yàn)恰摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球概率;

(2)記試驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為為橢圓的左頂點(diǎn),為橢圓上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線與直線分別交于,兩點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)若的面積之比為,求的坐標(biāo);

3)設(shè)直線與軸交于點(diǎn),若,三點(diǎn)共線,判斷的大小關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了保障全國第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行,國家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇, 從中部選擇河北. 湖北,從西部選擇寧夏, 從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點(diǎn)地區(qū),然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū).在普查過程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn),然后確定對(duì)象,最后入戶登記. 由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn). 在某普查小區(qū),共有 50 家企事業(yè)單位,150 家個(gè)體經(jīng)營戶,普查情況如下表所示:

普查對(duì)象類別

順利

不順利

合計(jì)

企事業(yè)單位

40

10

50

個(gè)體經(jīng)營戶

100

50

150

合計(jì)

140

60

200

(1)寫出選擇 5 個(gè)國家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法;

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”;

(3)以頻率作為概率, 某普查小組從該小區(qū)隨機(jī)選擇 1 家企事業(yè)單位,3 家個(gè)體經(jīng)營戶作為普查對(duì)象,入戶登記順利的對(duì)象數(shù)記為, 寫出的分布列,并求的期望值.

附:

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】方程的曲線即為函數(shù)的圖象,對(duì)于函數(shù),有如下結(jié)論:上單調(diào)遞減;函數(shù)存在零點(diǎn);函數(shù)的值域是R;若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)的圖象就是確定的曲線

其中所有正確的命題序號(hào)是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

(1)若在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若,且函數(shù)的最小值為,求的最小值.

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