Question

【題目】如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且 ， ．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解．如圖建系，設(shè)橢圓方程為 ，則c=1

又∵ 即（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴a2=2

故橢圓方程為

（2）解．假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，則

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F(xiàn)（1，0），故kPQ=1，

于是設(shè)直線l為y=x+m，由 得3x2+4mx+2m2﹣2=0，

又F為△PQM的垂心，則MP⊥FQ，

故 又yi=xi+m（i=1，2）

得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0由韋達定理得

解得 或m=1（舍）經(jīng)檢驗 符合條件，

此時直線l的方程為y=x﹣ ．

【解析】（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題意可知c，進而根據(jù) 求得a，進而利用a和c求得b，則橢圓的方程可得．（2）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，設(shè)出P，Q的坐標，利用點M，F(xiàn)的坐標求得直線PQ的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示出x1+x2和x1x2 ， 進而利用 求得m．