Question

1．在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=6，AA'=8，$∠BAD=\frac{π}{2}$，$∠DAA'=∠BAA'=\frac{π}{3}$，P是CC₁的中點．則AP=6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$，兩邊平方即可求出${\overrightarrow{AP}}^{2}$，從而得出AP的值．

解答 解：由題意可知$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$，
又${\overrightarrow{AB}}^{2}$=16，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=36，${\overrightarrow{AA′}}^{2}$=64，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4×6×cos$\frac{π}{2}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AA′}$=4×8×cos$\frac{π}{3}$=16，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AA′}$=6×8×cos$\frac{π}{3}$=24，
∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AA′}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AA′}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AA′}$=16+36+16+0+16+24=108，
∴AP=|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{108}$=6$\sqrt{3}$．
故答案為：6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間向量的應用與空間距離的計算，屬于中檔題．