已知二次函數(shù)的對稱軸為x=-,截x軸上的弦長為4,且過點(0,-1),求二次函數(shù)的解析式.

解法一:設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,

依題意有x=-=-.                                                             ①

圖象過點(0,-1),則有c=-1.                                                    ②

又截軸的弦長為4,設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,由韋達定理有

|x1-x2|==4.                      ③

由①②③式聯(lián)立解得a=,b=,c=-1.

∴二次函數(shù)解析式為

y=x2+x-1.

解法二:設(shè)y=a(x+)2+m,由條件得

-1=2a+m.                                                                               ①

弦長為4,令y=0,(x+)2=-,

則有x=-±.

由|x1-x2|=4,

∴2=4.                                                                         ②

聯(lián)立①②式解得a=,m=-2.

∴二次函數(shù)解析式為

y=(x+)2-2.

解法三:∵對稱軸為x=-,又截x軸的弦長為4,則圖象與x軸的交點為x1=-2-,x2=2-.

設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+2+)(x-2+),

又(0,-1)在圖象上,則有-1=a(2+)(-2+).

∴a=,二次函數(shù)解析式為y=x2+x-1.


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