Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4nS_n=（n+1）²a_n（n∈N^*）．a(chǎn)₁=1
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n$＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推關(guān)系式可得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）}^{2}}{4n}$a_n-$\frac{{n}^{2}}{4（n-1）}$a_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{n}^{3}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{（n-1）}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，于是可求a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n³，則b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，當n≥2時，利用放縮法得：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，從而可證：T_n＜$\frac{7}{4}$．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：∵4nS_n=（n+1）²a_n（n∈N^*），（1）
∴4（n-1）S_n-1=n²a_n-1，（2）
由（1）（2），得：a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）}^{2}}{4n}$a_n-$\frac{{n}^{2}}{4（n-1）}$a_n-1（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{n}^{3}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{（n-1）}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n³．
（Ⅱ）證明：∵b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，a₁=1，
∴b₁=1
當n≥2時，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
＜1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，求得a_n=n³是關(guān)鍵，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與裂項法、放縮法的綜合運用，屬于難題．