Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$（n∈N₊），a₁=1，則a₂₀₁₇=$\frac{1008}{1007×2017+1}$．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1007}{1008}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{1007}{1008}$的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$（n∈N₊），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2014{a}_{n}+2016}{2016{a}_{n}}$=$\frac{1007}{1008}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{1007}{1008}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1007}{1008}$（n-1）=$\frac{1007n+1}{1008}$，
∴a_n=$\frac{1008}{1007n+1}$，
∴a₂₀₁₇=$\frac{1008}{1007×2017+1}$，
故答案為：$\frac{1008}{1007×2017+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．