Question

4．已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+ax²+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）如果對任意的x₁＞x₂＞0，總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）問題轉(zhuǎn)化成研究g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）單調(diào)遞增，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+a-1}{x}$，
當(dāng)a≥1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；
當(dāng)0＜a＜1時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$．
則當(dāng)x∈（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）時，f′（x）＞0；x∈（$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）時，f（x）＜0．
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）單調(diào)增加，在（$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）單調(diào)減少．
（2）對任意的x₁＞x₂＞0，總有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2，
等價于對任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-2x₁≥f（x₂）-2x₂①
令g（x）=f（x）-2x，則g′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax-2，
①等價于g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，即 $\frac{a-1}{x}$+2ax-2≥0．
從而a≥$\frac{2x+1}{{2x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{2x+1}{{2x}^{2}+1}$，h′（x）=$\frac{-{4x}^{2}-4x+2}{{（{2x}^{2}+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）遞增，在（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
，故a的取值范圍為：[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．