Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（I）將代入，即可得到直線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（II）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，即可求解點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

解：（I）將代入，整理得，

所以直線的普通方程為.

由得，

將，代入，

得，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（II）設(shè)，的參數(shù)分別為，.

將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，

化簡得，

由韋達(dá)定理得，

于是.

設(shè)，則

則.

所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為.