(本小題滿分12分)已知橢圓:,過坐標(biāo)原點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于A,B兩點.
(I)求證O到直線AB的距離為定值.
(Ⅱ)求△0AB面積的最大值.
解:(Ⅰ) 設(shè),若k存在,則設(shè)直線AB:y=kx+m.
,得
△ >0,…2分有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)
=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 ………4分
代入,得4 m2=3 k2+3原點到直線AB的距離d=.……5分
當(dāng)AB的斜率不存在時,,可得,依然成立.
所以點O到直線的距離為定值.………………6分
(Ⅱ)…………8分
 =≤4
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.………………10分
當(dāng)斜率不存在時,經(jīng)檢驗|AB|<2.所以.…12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓內(nèi)有圓,如果圓的切線與橢圓交A、B兩點,且滿足(其中為坐標(biāo)原點).
(1)求證:為定值;
(2)若達到最小值,求此時的橢圓方程;
(3)在滿足條件(2)的橢圓上是否存在點P,使得從P向圓所引的兩條切線互相垂直,如果存在,求出點的坐標(biāo),如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓的中心在坐標(biāo)原點,其中一個焦點為圓的圓心,右頂點是圓F與x軸的一個交點.已知橢圓與直線相交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求面積的最大值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,焦距為8,且經(jīng)過點(0,3)
(1)求此橢圓的方程
若已知直線,問:橢圓C上是否存在一點,使它到直線的距離最小?最小距離是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線,焦點為,其準(zhǔn)線與軸交于點;橢圓:分別以為左、右焦點,其離心率;且拋物線和橢圓的一個交點記為
(1)當(dāng)時,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,若直線經(jīng)過橢圓的右焦點,且與拋物線相交于兩點,若弦長等于的周長,求直線的方程

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點,一曲線經(jīng)過點,且
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè),若,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

中心在原點,焦點在橫軸上,長軸長為4,短軸長為2,則橢圓方程是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

、是橢圓的左、右焦點,是該橢圓短軸的一個端點,直線與橢圓交于點,若成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率為
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合,則的值為_________

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