Question

1．已知復(fù)數(shù)z=1+i．
（I）若復(fù)數(shù)ω=z²+3$\overline{z}$-4，則復(fù)數(shù)ω的模長(zhǎng)|ω|=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）如果$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （I）由復(fù)數(shù)z求出$\overline{z}$，然后代入復(fù)數(shù)ω=z²+3$\overline{z}$-4化簡(jiǎn)求值則復(fù)數(shù)ω的模長(zhǎng)可求；
（Ⅱ）把復(fù)數(shù)z代入$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列出方程組，從而解方程組可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵復(fù)數(shù)z=1+i．
∴$\overline{z}=1-i$，
∴ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4=-1-i．
則復(fù)數(shù)ω的模長(zhǎng)|ω|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由復(fù)數(shù)z=1+i．
得$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=$\frac{（1+i）^{2}+a（1+i）+b}{（1+i）^{2}-（1+i）+1}=\frac{a+b+（2+a）i}{i}$=a+2-（a+b）i，
由題設(shè)條件知a+2-（a+b）i=1-i，
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得$\left\{\begin{array}{l}{a+2=1}\\{-（a+b）=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)相等的定義，是基礎(chǔ)題．