Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b、c∈R，若f′（$\frac{1}{3}$）=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由f′（$\frac{1}{3}$）=0求出a=b，然后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答 解：f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b，
由f′（$\frac{1}{3}$）=0，得$\frac{1}{3}$a-$\frac{2}{3}$（a+b）+b=0，
故a=b，
故f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f'（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1．
列表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由表可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，$\frac{1}{3}$）及（1，+∞）．
單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問(wèn)題，通過(guò)表格可以比較直觀的體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與最值．