已知橢圓E的中心在坐標原點O，經(jīng)過兩點A(1，
2
5
5
)，B(-2，
5
5
).圓C以點（2，0）為圓心，橢圓的短半袖長為半徑．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若點P是圓C上的一個動點，求
CP
•
OP
的取值范圍．
分析：（1）設出橢圓的標準方程把A，B點的坐標代入即可求得m和n，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)橢圓的短半軸的長求得圓心的坐標和半徑，進而可得圓的方程，設出P的坐標，則可分別表示出
CP
和
OP
，進而求得
CP
•
OP
的表達式，進而根據(jù)圓方程確定x的范圍，進而求得
CP
•
OP
的取值范圍．
解答：解：（1）設橢圓E的標準方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．
因為A(1，
2
5
5
)，B(-2，
5
5
)在橢圓E上，所以
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1

解得m=
1
5
，n=1，滿足條件
所以所求橢圓E的標準方程為
x2
5
+y2=1.
（2）由（1）知橢圓的短半軸長為1，所以圓心坐標為（2，0），半徑r=1，
故圓C的方程為（x-2）2+y2=1．
設P（x，y），則
CP
=(x-2，y)，
OP
=(x，y)，
所以
CP
•
OP
=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.
因為（x-2）2+y2=1，所以（x-2）2≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．
所以-1≤2x-3≤3，即
CP
•
OP
的取值范圍為[-1，3]．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時．求內切圓圓心的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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