Question

若數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₁＞0，數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，且log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁，求x．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先將兩個數(shù)列的通項公式寫出來，再將log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁進(jìn)行移項變形為

an

a1

=xbn-b1，再將已知條件代入化簡后即可求出x．

解答： 解：因為{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₁＞0，數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，
所以an=a1•2n-1，b_n=b₁+2（n-1），
log_xa_n-b_n=log_xa₁-b₁可化為：
log_xa_n-log_xa₁=b_n-b₁，即logx

an

a1

=2(n-1)，
即logx

an

a1

=logx2n-1=2(n-1)，
則x^2（n-1）=2^n-1，所以x²=2，所以x=

2

或x=-

2

（舍去），
故x的值為

2

．

點評：本題考查了等差等比數(shù)列的通項公式和對數(shù)運算的問題，關(guān)鍵是將給的等式恰當(dāng)?shù)淖冃�，化簡�?gòu)造出關(guān)于x的方程．