Question

①若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
②f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，若θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
③要得到函數(shù)y=cos(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個(gè)單位；
④函數(shù)f（x）=lnx+3x-6的零點(diǎn)只有1個(gè)且屬于區(qū)間（1，2）；
⑤若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
其中正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
②利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可得出；
③利用圖象變換法則和誘導(dǎo)公式即可得出；
④利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得出；
⑤利用分類(lèi)討論、二次函數(shù)圖象與一元二次不等式的解集的關(guān)系即可得出．

解答： 解：①∵銳角α，β滿足cosα＞sinβ，∴0＜

π

2

-α＜

π

2

，且sinβ＜sin(

π

2

-α)，∴0＜β＜

π

2

-α＜

π

2

，即α+β＜

π

2

．
②∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴sinθ，cosθ∈（0，1），且sinθ＞cosθ．
∵f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（sinθ）＜f（cosθ）．
故不正確．
③將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個(gè)單位，可得y=sin[

1

2

(x+

π

2

)]=sin(

1

2

x+

π

4

)=cos[

π

2

-(

1

2

x+

π

4

)]=cos(

1

2

x-

π

4

)，因此正確．
④函數(shù)f（x）=lnx+3x-6在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（1）=0+3-6=-3＜0，f（2）=ln2+6-6=ln2＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，并且只有一個(gè)．因此正確．
⑤當(dāng)a=0時(shí)，1＞0恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則

a＞0 △=4a2-4a＜0

，解得0＜a＜1．
綜上可知：a∈[0，1）；因此⑤不正確．
綜上可知：正確的為①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)與變換、“三個(gè)二次的關(guān)系”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．