Question

3．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），曲線C₁上任意一點(diǎn)M滿足$|{M{F_2}}|-|{M{F_1}}|=\sqrt{2}$；曲線C₂上的點(diǎn)N在y軸的右邊且N到F₂的距離與它到y(tǒng)軸的距離的差為1．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）過F₁的直線l與C₁相交于點(diǎn)A，B，直線AF₂，BF₂分別與C₂相交于點(diǎn)C，D和E，F(xiàn)．求$\sqrt{|{CD}|•|{EF}|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷點(diǎn)M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，$\sqrt{2}$為實(shí)軸長的雙曲線的左支，然后求解橢圓方程．設(shè)N（x，y）（x＞0），則有$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}-x=1$，化簡可得C₂的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ky-1（0≤k²＜1），聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，消去x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解斜率關(guān)系，直線AF₂的方程為y=k₁（x-1），代入y²=4x，求出CD，EF然后推出結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可知點(diǎn)M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，$\sqrt{2}$為實(shí)軸長的雙曲線的左支，故有$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，c=1⇒b=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴C₁的方程為${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}（{x＜0}）$，
設(shè)N（x，y）（x＞0），則有$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}-x=1$，化簡得y²=4x（x＞0），
即C₂的方程為y²=4x（x＞0）．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ky-1（0≤k²＜1），
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，消去x得$（{{k^2}-1}）{y^2}-2ky+\frac{1}{2}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{1}{{2（{{k^2}-1}）}}}\end{array}}\right.$，
設(shè)AF₂，BF₂的斜率分別為k₁，k₂，則有$\left\{{\begin{array}{l}{{k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{y_1}{{k{y_1}-2}}}\\{{k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=\frac{y_2}{{k{y_2}-2}}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=（{k-\frac{2}{y_1}}）+（{k-\frac{2}{y_2}}）=2k-2（{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}}）=-6k$，$\frac{1}{k_1}•\frac{1}{k_2}={k^2}-2k（{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}}）+\frac{4}{{{y_1}{y_2}}}={k^2}-8$，
直線AF₂的方程為y=k₁（x-1），代入y²=4x有$k_1^2{x^2}-（{2k_1^2+4}）x+k_1^2=0$，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則有${x_3}+{x_4}=2+\frac{4}{k_1^2}$，
∴$|{CD}|=|{C{F_2}}|+|{D{F_2}}|=（{{x_2}+1}）+（{{x_2}+1}）={x_1}+{x_2}+2=4+\frac{4}{k_1^2}=4（{1+\frac{1}{k_1^2}}）$，
同理$|{EF}|=4（{1+\frac{1}{k_2^2}}）$．
∴$|{CD}||{EF}|=16（{1+\frac{1}{k_1^2}}）（{1+\frac{1}{k_2^2}}）=16[{{{（{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}）}^2}+{{（{\frac{1}{{{k_1}{k_2}}}-1}）}^2}}]=16[{36{k^2}+{{（{{k^2}-9}）}^2}}]=16{（{{k^2}+9}）^2}$，
∴$\sqrt{|{CD}||{EF}|}=4（{{k^2}+9}）∈[{36，40}）$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與拋物線的方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查設(shè)而不求，思想的應(yīng)用，是難題．