【題目】已知,設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn);
(2)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
(3)對(duì)任意恒成立時(shí), 的最大值為1,求的取值范圍.
【答案】(1)是的極小值點(diǎn),無(wú)極大值點(diǎn);(2)見(jiàn)解析;(3).
【解析】【試題分析】(1)先求導(dǎo)數(shù),再解方程求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn);(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析探求;(3)先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解:
(1)當(dāng)時(shí), ,∴,令,則,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,所以是的極小值點(diǎn),無(wú)極大值點(diǎn).
(2),
①當(dāng)時(shí), 在, 上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,
②當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí), 在, 上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
④當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(3)∵, 。由得
對(duì)任意恒成立,即
對(duì)任意恒成立.
令, ,根據(jù)題意,可以知道的最大值為1,則 恒成立.
由于,則.
當(dāng)時(shí), ,令,則,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,∴在上單調(diào)遞增.
從而,滿足條件,故的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓關(guān)于直線對(duì)稱,圓心在第二象限,半徑為.
(Ⅰ)求圓的方程.
(Ⅱ)是否存在直線與圓相切,且在軸、軸上的截距相等?若存在,寫出滿足條件的直線條數(shù)(不要求過(guò)程);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)討論直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)過(guò)極點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求點(diǎn)的軌跡與圓相交所得弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,,為中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若,,的交點(diǎn)記為,求證平面;
(3)在(2)的條件下求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,,為中點(diǎn),與交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬(wàn)元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬(wàn)元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 若點(diǎn)在上,且.
(1)求的值;
(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于(異于)兩點(diǎn), 證明: 直線與直線的斜率之積為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長(zhǎng),下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲(chǔ)蓄存款y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理, 得到下表2:
時(shí)間代號(hào)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z關(guān)于t的線性回歸方程;
(Ⅱ)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?
(附:對(duì)于線性回歸方程,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB⊥平面PAC,∠APC=90°,E是AB的中點(diǎn),M是CE的中點(diǎn),N點(diǎn)在PB上,且4PN=PB.
(Ⅰ)證明:平面PCE⊥平面PAB;
(Ⅱ)證明:MN∥平面PAC.
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