Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x，g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明e^a＞a；
（2）討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點的個數(shù)．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，得到x=0．
當(dāng)x＞0時，f′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，+∞）．
∵a＞0，∴f（a）＞f（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）∵g（x）=x²-alnx．a(chǎn)＞0，
∴g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當(dāng)0＜x＜

2a

2

時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞

2a

2

時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）．
①當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上無零點；
②當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時，

2a

2

=

e

，則1＜

2a

2

＜e^a，
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一個零點；
③當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
即a＞2e時，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而g（1）=1＞0，g（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
當(dāng)a＞2e時，g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
所以，當(dāng)a＞2e時，函數(shù)g（x）在（1，e^a）上有兩個零點．
綜上所述：當(dāng)0＜a＜2e時，函數(shù)f（x）有、無零點；
a=2e時，函數(shù)f（x）有一個零點；
當(dāng)a＞2e時，函數(shù)f（x）有兩個零點．