【題目】國務(wù)院批準(zhǔn)從2009年起,將每年8月8日設(shè)置為“全民健身日”,為響應(yīng)國家號召,各地利用已有土地資源建設(shè)健身場所.如圖,有一個長方形地塊,邊為,為.地塊的一角是草坪(圖中陰影部分),其邊緣線是以直線為對稱軸,以為頂點的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線上一點的直線型隔離帶,,分別在邊,上(隔離帶不能穿越草坪,且占地面積忽略不計),將隔離出的△作為健身場所.則△的面積為的最大值為____________(單位:).
【答案】
【解析】
根據(jù)題意,目的是求三角形BEF的面積的最值,建立坐標(biāo)系,設(shè)出點P的坐標(biāo),通過求曲線的切線方程,將點B,E,F(xiàn)的坐標(biāo)均寫出來,再表示出BE,BF的長度,即可得到面積的表達式,在對表達式求導(dǎo)研究單調(diào)性,進而得到最值.
如圖,
以A為坐標(biāo)原點O,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則C點坐標(biāo)為(2,4),設(shè)邊緣線所在拋物線的方程為,把(2,4)代入,得a=1,
所以拋物線的方程為.過的切線方程為,令,得 令x=2,得,故,所以,定義域為.
,
由得 所以S(t)在上是增
函數(shù),由,得在上是減函數(shù),所以S 在上有最大值.
故答案為:.
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【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某公司計劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資量的單位:萬元).
(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司已有10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
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【題目】已知橢圓的離心率為,是橢圓上的兩個不同點.
(1)若,且點所在直線方程為,求的值;
(2)若直線的斜率之積為,線段上有一點滿足,連接并廷長交橢圓于點,求的值.
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【題目】選擇合適的抽樣方法抽樣,寫出抽樣過程.
(1)有甲廠生產(chǎn)的30個籃球,其中一箱21個,另一箱9個,抽取3個;
(2)有30個籃球,其中甲廠生產(chǎn)的有21個,乙廠生產(chǎn)的有9個,抽取10個.
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【題目】已知奇函數(shù)f(x)=ax+ka-x,(a>0且a≠1,k∈R).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)y=(f(x)+2)ax在[-1,1]上的最大值為7?
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【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的離心率為,且
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A,B且線段AB的中點在圓上,求m的值
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【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別為和(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.今將120萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額都不低于20萬元.
(Ⅰ)設(shè)對乙產(chǎn)品投入資金萬元,求總利潤(萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(Ⅱ)如何分配使用資金,才能使所得總利潤最大?最大利潤為多少?
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