Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)，可得b=0，利用f(

1

2

)=

2

5

，可得a=1，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用函數(shù)單調(diào)增，函數(shù)為奇函數(shù)，可得具體不等式，從而可解不等式．

解答：解：（1）由題意可知f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

，∴a=1
∴f(x)=

x

x2+1

；
（2）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增，證明如下：
∵f′(x)=

(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增；
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，且f（x）為奇函數(shù)
∴f（2x-1）＜f（-x）
∵當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增，
∴

-1＜2x-1＜1 -1＜-x＜1 2x-1＜-x

∴0＜x＜

1

3

∴不等式的解集為（0，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查應(yīng)用奇偶性來(lái)求函數(shù)解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，還考查了綜合運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性來(lái)解不等式的能力，屬于中檔題．