Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）討論并求出f（x）的極值；
（Ⅱ）若x≥1時(shí)，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知得x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，則${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），其中a為實(shí)數(shù)，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a
∴當(dāng)a≤0時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$無(wú)解，
∴f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$），f′（x）＞0；x∈（$\frac{1}{a}，+∞$），f′（x）＜0，
∴f（x）有極大值$f（\frac{1}{a}）=a-1-lna$，沒(méi)有極小值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，
則${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，
∵x≥1時(shí)，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，
∴x≥1時(shí)，a≥1，g′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$≥0，g（x）≥g（1）=0恒成立；
a＜1時(shí)，g（x）≥0不恒成立．
綜上可得a的取值范圍時(shí)[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中運(yùn)用，綜合運(yùn)用解決問(wèn)題能力，屬于綜合題目，