Question

某市文化館在春節(jié)期間舉行高中生“藍天海洋杯”象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時結束．假設選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為

2

3

，且各局比賽勝負互不影響．
（Ⅰ）求比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分的概率；
（Ⅱ）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意知，乙每局獲勝的概率皆為1-

2

3

=

1

3

．比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分，即頭兩局乙勝一局，3，4局連勝，由此能求出比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分的概率．
（Ⅱ）由題意知，ξ的取值為2，4，6，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，乙每局獲勝的概率皆為1-

2

3

=

1

3

．…（1分）
比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分，
即頭兩局乙勝一局，3，4局連勝，
則比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分的概率：
P2=

C

1 2

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

4

81

．…（4分）
（Ⅱ）由題意知，ξ的取值為2，4，6．…（5分）
則P(ξ=2)=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

…（6分）
P(ξ=4)=

C

1 2

1

3

2

3

(

2

3

)2+

C

1 2

1

3

2

3

(

1

3

)2=

20

81

…（7分）
P(ξ=6)=(

C

1 2

1

3

2

3

)2=

16

81

…（9分）
所以隨機變量ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（10分）
則Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查隨機變量ξ的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．