Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）＞

k

x+1

恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（3）求證：2²×3³×4⁴×5⁵×…×nⁿ×（n+1）ⁿ⁺¹＞e n2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過求導得f′（x）＜0，從而問題解決，
（2）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1），（x＞0），g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），a=1+ln（a+1），從而解決問題，
（3）由（2）知

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

，（x＞0），化簡可得ln（x+1）^x+1＞2x-1，相加得：ln2²+ln3³+…+ln（n+1）ⁿ⁺¹＞2×1-1+2×2-1+…+2n-1，即 ln2²+ln3³+…+ln（n+1）ⁿ⁺¹＞n²，從而問題證出．

解答： 解：（1）f′（x）=-

1

x2

[

1

x+1

+ln（x+1）]，
∵x＞0，∴x²＞0，

1

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k即h（x）的最小值大于k．
而h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1），（x＞0），
則g′（x）=

x

x+1

＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），a=1+ln（a+1），
當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，
當0＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4），
故正整數(shù)k的最大值是3，
（3）由（2）知

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

，（x＞0），
化簡可得ln（x+1）^x+1＞2x-1，
∴l(xiāng)n2²＞2×1-1，ln3³＞2×2-1，…，ln（n+1）ⁿ⁺¹＞2n-1，
相加得：ln2²+ln3³+…+ln（n+1）ⁿ⁺¹＞2×1-1+2×2-1+…+2n-1，
即 ln2²+ln3³+…+ln（n+1）ⁿ⁺¹＞n²，
∴2²×3³×4⁴×5⁵×…×nⁿ×（n+1）ⁿ⁺¹＞e n2．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，不等式的證明，導數(shù)的應用，是一道綜合題．