Question

15．已知$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂是夾角為120°的兩個單位向量．則$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{e}$₁+$\overrightarrow{e}$₂和$\overrightarrow$=$\overrightarrow{e}$₂-2$\overrightarrow{e}$₁的夾角的余弦值是（　　）

• A． -$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{14}$
• D． -$\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知，求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的模，及$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂是夾角為120°的兩個單位向量．
∴$\overrightarrow{e}$₁²=$\overrightarrow{e}$₂²=|$\overrightarrow{e}$₁|²=|$\overrightarrow{e}$₂|²=1，
$\overrightarrow{e}$₁•$\overrightarrow{e}$₂=-$\frac{1}{2}$，
故|$\overrightarrow{a}$|²=4$\overrightarrow{e}$₁²+$\overrightarrow{e}$₂²+4$\overrightarrow{e}$₁•$\overrightarrow{e}$₂=3，即|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow$|²=4$\overrightarrow{e}$₁²+$\overrightarrow{e}$₂²-4$\overrightarrow{e}$₁•$\overrightarrow{e}$₂=7，即|$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4$\overrightarrow{e}$₁²+$\overrightarrow{e}$₂²=-3，
故$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{e}$₁+$\overrightarrow{e}$₂和$\overrightarrow$=$\overrightarrow{e}$₂-2$\overrightarrow{e}$₁的夾角θ的余弦值，
cosθ=$\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=-$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的模，向量夾角公式，難度中檔．