Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC=2PA=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC= ．
（Ⅰ） 證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由已知可得 ，
由余弦定理得 ，則AB2=PB2+AP2 ，
∴AP⊥PB，同理AP⊥PC，又PB∩PC=P．
∴AP⊥平面PBC，則AP⊥BC；
（Ⅱ） 解：在Rt△APB中，由AB=2PA=2，得PB= ，
同理求得PC= ，又∠BAC= ，∴BC=2，
∴△PBC邊BC上的高為 ，
則 ．
∵VP﹣ABC=VA﹣PBC ，
∴
【解析】（Ⅰ）由已知結(jié)合余弦定理求得PB、PC的長度，可得AP⊥PB，AP⊥PC，再由線面垂直的判定可得AP⊥平面PBC，則AP⊥BC；（Ⅱ）求解直角三角形可得PB=PC= ，又∠BAC= ，得BC=2，進(jìn)一步求出△PBC邊BC上的高，得到 ．結(jié)合VP﹣ABC=VA﹣PBC可得
三棱錐P﹣ABC的體積．
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．