如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，BC=2AB，PA⊥底面ABCD．
（1）證明：PB⊥AC
（2）若PA=AB，求直線PD與平面PBC所成的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由余弦定理得AC=
3
AB，根據(jù)勾股定理判斷出AB⊥AC，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)，得出結(jié)論．
（2）如圖以A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，射線AB為x軸的正半軸，射線AC為y軸的正半軸，射線AP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PBC的法向量為
n
=（x，y，z），根據(jù)空間向量的夾角公式計算可得，
解答： （1）證明∵∠ABC=60°，BC=2AB，由余弦定理得AC=
3
AB，
∴AC2+AB2=BC2，
∴AB⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵AB∩PA=A，
∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴PB⊥AC，
（2）解：如圖以A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，射線AB為x軸的正半軸，射線AC為y軸的正半軸，射線AP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（1，0，0），C（0，
3
，0），D（-1，
3
，0），P（0，0，1），
∴
PB
=（1，0，-1），
.
 
PC
=（0，
3
，-1），
PD
=（-1，
3
，-1），
設(shè)平面PBC的法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
PB
=0
n
•
PC
=0
，
 即
x-z=0
3
y-z=0
，
因此可取
n
=（
3
，1，
3
），
cos＜
PD
•
n
＞=
PD
•
n
|
PD
||
n|
=
-
3
5
×
7
=-
105
35
，
直線PD與平面PBC所成的正弦值為
105
35
．
點評：本題考查空間直線和直線垂直的判定．線面角求解．考查空間想象、推理論證能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓
x2
m-2
+
y2
m+5
=1的焦點坐標(biāo)是（　�。�
A、（±7，0）
B、（0，±7）
C、（±
7
，0）
D、（0，±
7
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）試比較f（
1
2n
）與
1
2n
+2的大�。╪∈N）；
（3）若對任意x∈（0，1]，總存在n（n∈N），使得
1
2n+1
＜x≤
1
2n
，求證：對任意x∈（0，1]，都有f（x）≤2x+2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
1
2
．同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是
1
3
．在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)x就是一個隨機變量．寫出x的分布列（不要求寫出計算過程），并求x的均值（即數(shù)學(xué)期望）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若sin（α-π）=2cos（α-2π），求
sin(7π-α)+5cos(2π-α)
3sin(
3π
2
+α)-sin(-α)
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（Ⅰ） 求異面直線B1C1與AC所成角的大��；
（Ⅱ） 若該直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為
2
2
，求點A到平面A1BC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=（m+1）x2-2（m+1）x-m的最值，其中m為常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，四棱錐S-ABCD底面為平行四邊形，E、F分別為邊AD、SB中點，
（1）求證：EF∥平面SDC．
（2）AB=SC=1，EF=
3
2
，求EF與SC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對其中2題就停止答題，即為闖關(guān)成功．已知6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是
2
3
．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙答對題目的個數(shù)為η，求η的方差；
（Ⅲ）設(shè)甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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同步練習(xí)冊答案