Question

如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體的外接球表面積為

17π

．

Answer 1

分析：還原三視圖成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P-ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC=BC=2且PA=3．利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，從而得到PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心．再根據(jù)勾股定理和球的表面積公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：根據(jù)三視圖的形狀，將該多面體還原成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P-ABC．
其中△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．
∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
結(jié)合PC?平面PAC，得BC⊥PC
因此，PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，設(shè)PB的中點(diǎn)為0，則OA=OB=OC=OP=

1

2

PB．
∴PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心
∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2

2

又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB=

PA2+AB2

=

17

，
可得外接球的半徑R=

17

2

，所以外接球表面積為S=4πR²=17π．
故答案為：17π

點(diǎn)評(píng)：本題給出三視圖，求多面體的外接球的表面積．著重考查了三視圖的認(rèn)識(shí)、線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．