Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，分和兩種情況，分別討論的正負(fù)性，可得到的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；

（2）易知有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，從而可知有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合（1）知不符合題意，時(shí)，討論的極值，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求出答案.

（1）的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，在恒成立，∴在單調(diào)遞減，故無極值，

當(dāng)時(shí)，由得.

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值，，無極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.

（2）若是的零點(diǎn)，則必有或，∴的零點(diǎn)必為或的零點(diǎn)，

而有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，時(shí).

①當(dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；

②當(dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.

i）當(dāng)即時(shí)，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；

ii）當(dāng)即時(shí)，，，

由零點(diǎn)存在性定理知使得.

令，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴，∴，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，又，

∴由零點(diǎn)存在性定理知使得，

∴，；，；，，

∴當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.