Question

拋物線y²=4x的焦點弦被焦點分成m和n兩部分，則

1

m

+

1

n

=

1

．

Answer 1

分析：當(dāng)直線斜率存在，可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x₁+x₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進(jìn)而可求得

1

m

+

1

n

，當(dāng)斜率不存在時，亦可求得

1

m

+

1

n

．

解答：解：∵拋物線y²=4x的焦點F（1，0），假設(shè)過F點的直線l的斜率存在，設(shè)為k，
則l的方程為：y=k（x-1），直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)直線l與拋物線y²=4x的兩交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁、x₂為方程k²x²-（2k²+4）x+k²=0的兩根，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1．
又由拋物線定義可得：
m+n=x₁+x₂+p=2+

4

k2

+2=4+

4

k2

，
m•n=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=4+

4

k2

．
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=1．
②若k不存在，則AB方程為x=1，m=n=2，顯然符合

1

m

+

1

n

=1．
綜上所述：

1

m

+

1

n

=1．
故答案為：1．

點評：題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系，當(dāng)遇到拋物線焦點弦問題時，常根據(jù)焦點設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題，屬于難題．