Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，g（x）=e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=1，關(guān)于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]且x₁≠x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|均成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅱ）若a=-1，關(guān)于x的方程f（x）=k•g（x）有且僅有一個根，即k=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{e}^{x}}$，有且只有一個根，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{e}^{x}}$，可得h（x）極大=h（2）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，h（x）極小=h（1）=$\frac{1}{e}$，進(jìn)而可得當(dāng)k＞$\frac{3}{{e}^{2}}$或0＜k＜$\frac{1}{e}$時，k=h（x）有且只有一個根；
（Ⅲ）設(shè)x₁＜x₂，因為g（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時，a≥-1；當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時，a≤2-2ln2，綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，y=（x²+x+1）e^x，y′=（x+1）（x+2）e^x，
令y′＞0，解得：x＞-1或x＜-2，令y′＜0，解得：-2＜x＜-1，
∴函數(shù)y=f（x）•g（x）在[-2，-1]遞減，在[-1，0]遞增，
而x=-2時，y=$\frac{3}{{e}^{2}}$，x=0時，y=1，
故函數(shù)在[-2，0]上的最大值是1；
（Ⅱ）由題意得：k=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{e}^{x}}$有且只有一個根，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{-（x-1）（x-2）}{{e}^{x}}$，
故h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，2）上單調(diào)遞增，（2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（x）極大=h（2）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，h（x）極小=h（1）=$\frac{1}{e}$，
因為h（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，且函數(shù)值恒為正，又當(dāng)x→-∞時，h（x）→+∞，
所以當(dāng)k＞$\frac{3}{{e}^{2}}$或0＜k＜$\frac{1}{e}$時，k=h（x）有且只有一個根．
（Ⅲ）設(shè)x₁＜x₂，因為g（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，
故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即 $\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{1}）-f{（x}_{1}）＜g{（x}_{2}）-f{（x}_{2}）}\\{f{（x}_{1}）+g{（x}_{1}）＜g{（x}_{2}）+f{（x}_{2}）}\end{array}\right.$，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
則函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調(diào)遞增，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{G′（x）=g′（x）+f′（x）{=e}^{x}+2x+a≥0}\\{F′（x）=g′（x）-f′（x）{=e}^{x}-2x-a≥0}\end{array}\right.$，在[0，2]恒成立，
當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時，因為-（e^x+2x）在[0，2]單調(diào)遞減，
所以-（e^x+2x）的最大值為-1，所以a≥-1；
當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時，因為e^x-2x在[0，ln2]單調(diào)遞減，在[ln2，2]單調(diào)遞增，
所以e^x-2x的最小值為2-2ln2，所以a≤2-2ln2，
綜上：-1≤a≤2-2ln2．

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值，運算量大，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．