Question

10．圓x²+y²=1的切線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于兩點(diǎn)A，B，分別以A，B為切點(diǎn)的$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)圓的切線方程為：y=kx+b，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則1+k²=b²，圓的切線PA、PB的方程分別為：3x₁x+4y₁y=12、3x₂x+4y₂y=12、求出交點(diǎn)即點(diǎn)P的參數(shù)方程為-$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4k}}\\{y=\frac{3}}\end{array}\right.$，利用1+k²=b²消去k、b

解答 解：設(shè)圓的切線方程為：y=kx+b，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
則1+k²=b²，
橢圓的切線PA、PB的方程分別為：3x₁x+4y₁y=12、3x₂x+4y₂y=12，
則PA，PB的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_p=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{1}{x}_{2}-{y}_{2}{x}_{1}}=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{b（{x}_{2}-{x}_{1}）}=\frac{3}$…代入3x₁x+4y₁y=12得PA，PB的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_p=$\frac{4b-4{y}_{1}}{b{x}_{1}}=\frac{4b-4（k{x}_{1}+b）}{b{x}_{1}}=-\frac{4k}$；
即點(diǎn)P的參數(shù)方程為-$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4k}}\\{y=\frac{3}}\end{array}\right.$，
利用1+k²=b²消去k、b得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓、橢圓的切線方程、及參數(shù)法求軌跡方程，是中檔題．