Question

（2012•金華模擬）已知等差數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁＞0，公差d＞0．
（1）若a₁=1，d=2，且

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比數(shù)列，求整數(shù)m的值；
（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，

1

an2

，

1

an+12

，

1

an+22

都不成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a₁=1，d=2，可得a₄=7，a_m=2m-1，利用

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比數(shù)列，可得

1

492

=

1

(2m-1)2

，從而可求m的值；
（2）根據(jù){a_n}是等差數(shù)列，可得a_n+a_n+2=2a_n+1，再證明

1

an2

+

1

an+22

＞

2

an+12

，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵a₁=1，d=2，∴a₄=7，a_m=2m-1，
∴

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比數(shù)列，
∴

1

492

=

1

(2m-1)2

，
∴2m-1=49，
∴m=25；
（2）證明：∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n+a_n+2=2a_n+1
∴

1

an2

+

1

an+22

＞

( 1 an + 1 an+2 )2

2

=

2an+12

an2an+22

＞

2an+12

( an+an+2 2 )2

=

2

an+12

∴對(duì)任意正整數(shù)n，

1

an2

，

1

an+12

，

1

an+22

都不成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．