Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如果b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前50項(xiàng)和T₅₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₃和S₁₁的值，分別利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于a₁和公差d的方程組，求出方程組的解得到a₁和d的值，由a₁和d的值寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，由a₁和d寫(xiě)出S_n的通項(xiàng)，然后由a_n大于等于0列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范圍，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的正負(fù)情況是前6項(xiàng)都大于0，從第7項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都小于0，又b_n=|a_n|，羅列出數(shù)列{b_n}的前50項(xiàng)和T₅₀的各項(xiàng)，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)化簡(jiǎn)，給前6項(xiàng)乘以2，加上數(shù)列{a_n}前50項(xiàng)的和即為數(shù)列{b_n}的前50項(xiàng)和T₅₀．

解答：解：（Ⅰ）由a₃=24，S₁₁=0，根據(jù)題意得：

a1+2d=24 11a1+ 11×10 2 d=0

，
解得：

a1=40 d=-8

，
∴a_n=40-8（n-1）=48-8n；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=40n-4n(n-1)，
又當(dāng)n≤6時(shí)，a_n≥0，n＞6時(shí)a_n＜0，
∴T₅₀=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆-a₇-a₈-a₉-a₁₀-…-a₅₀
=-a₁-a₂-a₃-a₄-…-a₅₀+2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）
=-（40×50-4×50×49）+2（40×6-4×6×5）
=8040．

點(diǎn)評(píng)：此題第2問(wèn)的解題思路是：先利用不等式判斷得到數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的正負(fù)情況，然后利用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)化簡(jiǎn)數(shù)列{b_n}的前50項(xiàng)的和T₅₀，最后采用數(shù)列{a_n}的前50項(xiàng)和加前6項(xiàng)和的2倍求出T₅₀．同時(shí)要求學(xué)生數(shù)列掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．