Question

若f（x）=

1+cos2x

sin( π 2 -x)

•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（1）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角誘導公式公式化簡函數(shù)，然后求f（x）的周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）若銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，即可求出A的取值范圍，進一步可求得f（A）的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos2x

sin( π 2 -x)

•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosxsinx+

3

cos²x-

3

sin²x
=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
故f（x）的周期為：π．
因為y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
故答案為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（2）若銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
則有0＜A≤

π

3

⇒0＜2A+

π

3

≤π．
由f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象可知0＜f（x）≤2．
所以f（A）的取值范圍（0，2]．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，利用基本函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、周期和值域．屬于中檔題．