Question

哈爾濱市五一期間決定在省婦女兒中心舉行中學(xué)生“藍天綠樹、愛護環(huán)境”圍棋比賽，規(guī)定如下：兩名選手比賽時每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多3分或打滿7局時停止．設(shè)某學(xué)校選手甲和選手乙比賽時，甲在每局中獲勝的概率為p（p＞

1

2

），且各局勝負相互獨立．已知第三局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為

1

3

．
（1）求p的值；
（2）求甲贏得比賽的概率；
（3）設(shè)X表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得p3+(1-p)3=

1

3

，由此能求出p=

2

3

．
（2）那么對于甲贏得比賽，需要分為兩種情況，連勝三局，或者比賽7局，前6局勝出兩局，最后一局甲贏，由此能求出其概率值．
（3）結(jié)合題意，X表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，可知X的可能取值為3，5，7，分別得分為3：0，4：1，5：2，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，由于某學(xué)校選手甲和選手乙比賽時，
甲在每局中獲勝的概率為p（p＞

1

2

），且各局勝負相互獨立．
已知第三局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為

1

3

，
而要是停止的前提是比賽進行到有一人比對方多3分停止，且兩名選手比賽時每局勝者得1分，負者得0分，
那么可知p3+(1-p)3=

1

3

，解得p=

2

3

．
（2）那么對于甲贏得比賽，需要分為兩種情況，連勝三局，或者比賽7局，前6局勝出兩局，最后一局甲贏，
那么可知其概率值為：p3(1-p)3+

C

2 6

p2(1-p)4p=

152

243

．
（3）結(jié)合題意，X表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，
可知X的可能取值為3，5，7，分別得分為3：0，4：1，5：2，
其概率值為P（X=3）=

1

3

，P（X=5）=

2

9

，P（X=7）=

4

9

，
X的分布列為：

X	3	5	7
P	1 3	2 9	4 9

期望EX=3×

1

3

+5×

2

9

+7×

4

9

=

47

9

．

點評：本題主要是考查了分布列的運用，以及古典概型的概率的運用，屬于中檔題．