【題目】已知橢圓W: ,過原點O作直線l1交橢圓W于A,B兩點,P為橢圓上異于A,B的動點,連接PA,PB,設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1 , k2(k1 , k2≠0),過O作直線PA,PB的平行線l2 , l3 , 分別交橢圓W于C,D和E,F(xiàn).
(1)若A,B分別為橢圓W的左、右頂點,是否存在點P,使∠APB=90°?說明理由.
(2)求k1k2的值;
(3)求|CD|2+|EF|2的值.

【答案】
(1)解:不存在點P,使∠APB=90°.

說明如下:設(shè)P(xP,yP).

依題意,此時A(﹣2,0),B(2,0),

,

若∠APB=90°,則需使 ,即

又點P在橢圓W上,所以 ,

代入(1)式中解得,xP=±2,且yP=0.

顯然與P為橢圓上異于A,B的點矛盾,所以不存在;


(2)解:設(shè)P(xP,yP),A(xA,yA),依題意直線l1過原點,則B(﹣xA,﹣yA).

由于P為橢圓上異于A,B的點,

則直線PA的斜率 ,直線PB的斜率

橢圓W的方程化為x2+4y2=4,由于點P和點A都為橢圓W上的點,

,兩式相減得 ,

因為點P和點A不重合,所以 ,

;


(3)解:

方法一:由于l2,l3分別平行于直線PA,PB,

則直線l2的斜率kCD=k1,直線l3的斜率kEF=k2

設(shè)直線l2的方程為y=k1x,代入到橢圓方程中,

,解得

設(shè)C(xC,yC),由直線l2過原點,則D(﹣xC,﹣yC).

=

由于yC=k1xC,所以|CD|2= ,即|CD|2=

直線l3的方程為y=k2x,代入到橢圓方程中,

,解得

同理可得

則|CD|2+|EF|2=

由(Ⅱ)問 ,且k1≠0,則

即|CD|2+|EF|2=16

化簡得|CD|2+|EF|2=16

即|CD|2+|EF|2=20.

方法二:設(shè)C(xC,yC),E(xE,yE),

由直線l2,l3都過原點,則D(﹣xC,﹣yC),F(xiàn)(﹣xE,﹣yE).

由于l2,l3分別平行于直線PA,PB,

則直線l2的斜率kCD=k1,直線l3的斜率kEF=k2,

由(2)得 ,可得

由于kCD=k1≠0,則

由于點C不可能在x軸上,即yC≠0,所以 ,

過原點的直線l3的方程為 x,代入橢圓W的方程中,

,化簡得

由于點C(xC,yC)在橢圓W上,所以 ,

所以 ,不妨設(shè)xE=2yC,代入到直線 中,

.即 ,則

|CD|2+|EF|2=

=

=

,所以|CD|2+|EF|2=20.


【解析】(1)不存在點P,使∠APB=90°.理由如下:設(shè)P(xP , yP),運用向量垂直的條件和數(shù)量積的坐標表示,結(jié)合橢圓方程,即可判斷;(2)設(shè)P(xP , yP),A(xA , yA),運用直線的斜率公式和點差法,化簡整理可得所求值;(3)方法一:由于l2 , l3分別平行于直線PA,PB,求得直線方程,聯(lián)立橢圓方程,求得弦長,化簡整理,即可得到所求值;
方法二、設(shè)C(xC , yC),E(xE , yE),由直線l2 , l3都過原點,則D(﹣xC , ﹣yC),F(xiàn)(﹣xE , ﹣yE).由于l2 , l3分別平行于直線PA,PB,由平行的條件,求得直線方程,代入橢圓方程,化簡整理,即可得到所求值.

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