Question

14．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax-1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（x）的單調(diào)性和最值列方程組解出a，b的值；
（2）分離參數(shù)可得k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1，利用換元法求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出k的范圍．

解答 解：（1）g（x）的對稱軸為在直線x=1，開口向上，
∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=1}\\{3a-1+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，
∴f（2^x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，
∵f（2^x）-k•2^x≥0，即${2^x}+\frac{1}{2^x}-2≥k•{2^x}$，
∴$1+{（\frac{1}{2^x}）^2}-2•\frac{1}{2^x}≥k$，
令$\frac{1}{{2}^{x}}$=t，則k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，記h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
則h（t）在[$\frac{1}{2}$，2]上先減后增，
∵h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，h（2）=1，
∴h（t）_max=h（2）=1，
∴k≤1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)存在性問題與函數(shù)最值的關系，屬于中檔題．