Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=sin(x+

π

4

)在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)；
③直線x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)圖象的一條對稱軸；
④若cosx=-

1

3

，x∈(0，2π)，則x=arcos（-

1

3

）或π+arcos（-

1

3

）
其中正確的命題的序號是：

①③

．

Answer 1

分析：化簡函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，是偶函數(shù)，故①正確．由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得y=sin(x+

π

4

) 的增區(qū)間，可得②不正確．
③由于當x=

π

8

時，函數(shù)取得最小值，故直線x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)圖象的一條對稱軸，故③正確．④有條件求得 x=π-arccos

1

3

，故④不正確．

解答：解：①由于函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，是偶函數(shù)，故①正確．
②由于函數(shù)y=sin(x+

π

4

)，由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈z．故②不正確．
③由于當x=

π

8

時，函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)=-1，是函數(shù)的最小值，故直線x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)圖象的一條對稱軸，故③正確．
④若cosx=-

1

3

，x∈(0，2π)，則 x=arccos（-

1

3

）=π-arccos

1

3

，故④不正確．
故答案為 ①③．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，反余弦函數(shù)的定義，判斷命題的真假，屬于中檔題．