Question

20．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，且f（x）為偶函數(shù)；
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求該函數(shù)f（x）的定義域；
（3）證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義，即可求實數(shù)m的值；
（2）利用分母不為0，求該函數(shù)f（x）的定義域；
（3）x＞0時，f（x）＞0，f（x）為偶函數(shù)，x＜0時，f（x）＞0，即可證明證明：f（x）＞0．

解答 （1）解：∵f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，且f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即（$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+m）（-x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，
∴m=$\frac{1}{2}$；
（2）解：∵f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x，
∴3^x-1≠0，
∴x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（3）證明：x＞0時，3^x-1＞0，∴f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x＞0
∵f（x）為偶函數(shù)，∴x＜0時，f（x）＞0．
∴f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的定義域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．