Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2λf（x）．
（1）若λ=3，求函數(shù)G（x）的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得G（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）求g（x），再求G（x）解析式，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解即可．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用條件得到x=-1時(shí)，函數(shù)G（x）取得極小值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：令t=x²+1，則t≥1，
g（x）=f[f（x）]=t²+1，G（x）=h（t）=t²-2λt+1
當(dāng)λ=3時(shí)，G（x）=h（t）=t²-6t+1=（t-3）²-8，
∵t≥1，
∴當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)G（x）取得最小值為h（3）=-8．
（2）G（x）=g（x）-2λf（x）=x⁴+2x²+2-2λx²-2λ=x⁴+（2-2λ）x²+（2-2λ），
若存在實(shí)數(shù)λ，使得G（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)，
則x=-1時(shí)，函數(shù)G（x）取得極小值，
則G′（-1）=0，
G′（x）=4x³+2（2-2λ）x，
即G′（-1）=-4-2（2-2λ）=0，
解得λ=2，
此時(shí)G′（x）=4x³-4x=4x（x²-1），
由G′（x）＜0得x＜-1或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
由G′（x）＞0得x＞1或-1＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
滿足條件G（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．