Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=-．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由B和C為三角形的內(nèi)角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（B+C）的值，然后將C變形為（B+C）-B，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos[（B+C）-B]后，根據(jù)B的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出sinB和cosB的值，將各自的值代入求出cos[（B+C）-B]的值，即為cosC的值；
（Ⅱ）由C為三角形的內(nèi)角及第一問求出的cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，進而由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-，
得sin（B+C）===，
又B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）-B]
=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-×+×=；…（6分）
（Ⅱ）∵cosC=，C為三角形的內(nèi)角，sin（B+C）=，
∴sinC===，sinA=sin（B+C）=．
在△ABC中，由正弦定理=得：=，
∴c=8，又a=5，sinB=，
則△ABC的面積為S=acsinB=×5×8×=10．…（12分）
點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．