Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），且

p

∥

q

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求函數(shù)f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量平行時(shí)滿足的條件得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，即可得到cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）將三角函數(shù)式用二倍角的余弦公式結(jié)合“切化弦”，化簡(jiǎn)整理得 

2

sin（2C-

π

4

），再根據(jù)A=

π

3

算出C的范圍，得到sin（2C-

π

4

）的取值范圍，最終得到原三角函數(shù)式的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），

p

∥

q

，∴（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（II）1-

2cos2C

1+tanC

=1-

2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵A=

π

3

，得C∈（0，

2π

3

），
∴2C-

π

4

∈（-

π

4

，

13π

12

），可得-

2

2

＜sin（2C-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（2C-

π

4

）≤

2

，
即三角函數(shù)式f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的取值范圍是（-1，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量平行，通過列式化簡(jiǎn)求A的大小，并求關(guān)于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡(jiǎn)、正弦定理和誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．