【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,an= +2(n﹣1)(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式;
(2)設(shè)數(shù)列 的前n項和為Tn , 證明:

【答案】
(1)證明:由an= +2(n﹣1),得Sn=nan﹣2n(n﹣1)(n∈N*).

當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn1=nan﹣(n﹣1)an1﹣4(n﹣1),即an﹣an1=4,

∴數(shù)列{an}是以a1=1為首項,4為公差的等差數(shù)列.

于是,an=4n﹣3,Sn= =2n2﹣n(n∈N*


(2)證明:Tn= + + +…+

= + + +…+

= [(1﹣ )+( )+( )+…+( )]

= (1﹣ )= =

又由題意知Tn單調(diào)遞增,故Tn≥T1=

于是, ≤Tn


【解析】(1)由an= +2(n﹣1),得Sn=nan﹣2n(n﹣1)(n∈N*),由此能證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并能求出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式.(2)由 =( ),利用裂項求和法能證明 ≤Tn
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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