Question

7．已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=4x-x²，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域為[-4，4]，則實數(shù)t的取值范圍是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結合以及一元二次函數(shù)的性質進行求解即可．

解答 解：如x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=4x-x²，
∴當-x＞0時，f（-x）=-4x+x²，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-x）=-4x+x²=-f（x），
則f（x）=4x+x²，x＜0，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-{x}^{2}，}&{x≥0}\\{4x+{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
則當x＞0，f（x）=4x-x²=-（x-2）²+4≤4，
當x＜0，f（x）=4x+x²=（x+2）²-4≥-4，
當x＜0時，由4x+x²=4，即x²+4x-4=0得x=$\frac{-4-\sqrt{16+16}}{2}$=-2-2$\sqrt{2}$，（正值舍掉），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域為[-4，4]，
則-2-2$\sqrt{2}$≤t≤-2，
即實數(shù)t的取值范圍是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]，
故答案為：[-2-2$\sqrt{2}$，-2]

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，根據(jù)條件結合函數(shù)奇偶性的性質求出函數(shù)的解析式以及一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．