Question

18．某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動的次數(shù)與相對應(yīng)的人數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如表：

次數(shù)	1	2	3	4
人數(shù)	1	4	4	1

現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表在活動總結(jié)會上發(fā)言．
（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為6”，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之和，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從這10人中隨機選出2人的基本事件個數(shù)為：${∁}_{10}^{2}$．設(shè)選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為事件A，選出的2人中1人參加2次另一人參加4次為事件M，選出的2人均參加3次為事件N．事件M所含基本事件的個數(shù)為${∁}_{4}^{1}•{∁}_{1}^{1}$個，事件N所含基本事件的個數(shù)為${∁}_{4}^{2}$個，利用古典概率與互斥事件概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，利用相互定理與互斥事件概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）從這10人中隨機選出2人的基本事件個數(shù)為：$C_{10}^2=45$個．
設(shè)選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為事件A，選出的2人中1人參加2次另一人參加4次為事件M，選出的2人均參加3次為事件N．
事件M所含基本事件的個數(shù)為$C_4^1•C_1^1=4$個，
事件N所含基本事件的個數(shù)為$C_4^2=6$個，
根據(jù)古典概型可知，$P（M）=\frac{4}{45}$，$P（N）=\frac{6}{45}$，
因為M和N互斥事件，且A=M+N
所以$P（A）=P（M+N）=P（M）+P（N）=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$…．（6分）
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，7$P（X=3）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，$P（X=4）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=5）=\frac{C_4^1•C_4^1+C_1^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{17}{45}$，$P（X=6）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=7）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，
所以X的分布列如下：

X	3	4	5	6	7
P	$\frac{4}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{45}$

EX=$3×\frac{4}{45}$+$4×\frac{2}{9}$+$5×\frac{17}{45}$+$6×\frac{2}{9}$+$7×\frac{4}{45}$=5．…．（13分）

點評 本題考查了古典概率計算公式、相互定理與互斥事件概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．