Question

【題目】已知圓C：（x+2）2+y2=5，直線l：mx﹣y+1+2m=0，m∈R．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；
（3）是否存在實數(shù)m，使得圓C上有四點到直線l的距離為 ？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C：（x+2）2+y2=5，的圓心為C（﹣2，0），半徑為 ，所以圓心C到直線l：mx﹣y+1+2m=0的距離 ．

所以直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個不同的交點；

（2）解：設(shè)中點為M（x，y），因為直線l：mx﹣y+1+2m=0恒過定點（﹣2，1），

當(dāng)直線l的斜率存在時， ，又 ，kABkMC=﹣1，

所以 ，化簡得 ．

當(dāng)直線l的斜率不存在時，中點M（﹣2，0）也滿足上述方程．

所以M的軌跡方程是 ，它是一個以 為圓心，以 為半徑的圓．

（3）解：假設(shè)存在直線l，使得圓上有四點到直線l的距離為 ，由于圓心C（﹣2，0），半徑為 ，則圓心C（﹣2，0）到直線l的距離為

化簡得m2＞4，解得m＞2或m＜﹣2．

【解析】（1）根據(jù)點到直線的公式，不難判斷出圓心到動直線的距離小于半徑R，故結(jié)論得證，（2）設(shè)動點M的坐標為（x，y），由于直線l恒過定點，分類討論當(dāng)直線斜率存在和斜率不存在，圓心與M點所在直線與直線AB互相垂直，故可以列出關(guān)系式，從而得到軌跡方程，（3）假設(shè)存在直線l使得條件成立，表示出圓心到直線l的距離小于半徑減去，解出m的范圍即可.
【考點精析】利用直線與圓的三種位置關(guān)系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．