如圖①,△BCD內(nèi)接于直角梯形,A1D∥A2A3,A1A2⊥A2A3,A1D=10,A1A2=8,沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一個三棱錐ABCD,如圖②.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)求直線BD和平面ACD所成的角的正切值;
(3)求四面體的體積。
(1)詳見解析;(2) ; (3)
解析試題分析:(1)平面圖中因為A1D∥A2A3,A1A2⊥A2A3,所以,立體圖中不變,即,可證得,就可證出AB⊥CD。(2)由(1)知AB⊥平面ACD.,所以AD即為BD在面ACD內(nèi)的射影,所以∠BDA即為所求。在直角三角形中利用三角函數(shù)可求其正切值。(3)由(1)知,所以可以選以面ADC為底面,以AB為高求其體積。
試題解析:(1)證明:∵在直角梯形A1A2A3D中,A1B⊥A1D,A2B⊥A2C,
∴在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,AB⊥AC.
∵AC∩AD=A,∴AB⊥平面ACD.
∵CD?平面ACD,∴AB⊥CD.
(2)解:由(1)知AB⊥平面ACD,
∴AD為BD在平面ACD內(nèi)的射影,
∠BDA是直線BD和平面ACD所成的角.
依題意,在直角梯形A1A2A3D中,
A1D=A3D=10,A1B=A2B=4,
∴在三棱錐ABCD中,AD=10,AB=4.
在Rt△ABD中,tan ∠BDA===.
∴直線BD和平面ACD所成的角的正切值為.
(3)由(2)得:
考點(diǎn):線面垂直證線線垂直,線面角,多面體體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中點(diǎn),AA'=AB=2.
(1)求證:A'C//平面AB'D;
(2)求二面角D一AB'一B的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點(diǎn),D為PB的中點(diǎn),且△PMB為正三角形.
(1)求證:DM∥平面APC; (2)求證:平面ABC⊥平面APC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中, ,直線B1C與平面ABC成45°角。
(1)求證:平面A1B1C⊥平面B1BCC1;
(2)求二面角A—B1C—B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且
(I)求證:EF∥平面BDC1;
(II)求二面角E-BC1-D的余弦值
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