Question

（2011•東城區(qū)二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，離心率e=

3

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，

2

），點(diǎn)M為直線y=

1

2

x與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，平行于OM的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)槎梯S的一個(gè)端點(diǎn)為（0，

2

），可得b的值，因?yàn)殡x心率e=

3

2

，得

c

a

=

3

2

，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系式，就可求出a的值，橢圓的方程可求．
（Ⅱ）要證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形，只需證直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)即可，也即直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．可分別用A，B點(diǎn)坐標(biāo)表示直線MA，MB的斜率，再計(jì)算k₁+k₂，消去參數(shù)，看結(jié)果是否為0．若是0，則問(wèn)題得證．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0），
則

c a = 3 2 b= 2

解得a=2

2

．
所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1                  
（Ⅱ）由題意M（2，1），設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

 得x²+2mx+2m²-4=0，
設(shè)直線AM，MB的斜率分別為k₁，k₂，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x2-2

．
由x²+2mx+2m²-4=0，
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m -1)(x2-2)+( 1 2 x2+m -1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)( -2m )-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4 -2m2+4m -4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0．
即k₁+k₂=0．
故直線MA，MB與X軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用橢圓性質(zhì)求橢圓方程，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)要細(xì)心．