Question

求證：

1-x1

+

1-x2

+…

1-xn

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

），

n

i=1

x_n=1．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：驗證n=1，顯然成立；當n＞1時，先證一個不等式：

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

，
設(shè)

m

=（

x1

，

x2

，…，

xn

），

n

=（1，1，…，1），由|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，即可得到，即有

x1+x2+…+xn

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．由于x₁+x₂+…+x_n=1，要證原不等式成立，即證，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
運用上面的結(jié)論，累加即可得證．

解答： 證明：當n=1時，不等式左邊=

1-x1

=0，右邊=0，顯然成立；
當n＞1時，先證一個不等式：

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

，
設(shè)

m

=（

x1

，

x2

，…，

xn

），

n

=（1，1，…，1），
則由于|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，
即有|

x1

+

x2

+…+

xn

|≤

x1+x2+…+xn

•

n

，
兩邊除以n，得，

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．
即有

x1+x2+…+xn

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．
由于x₁+x₂+…+x_n=1，
要證原不等式成立，即證，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
由于

x2+x3+…+xn

≥

x2 + x3 +…+ xn

n-1

，

x1+x3+..+xn

≥

x1 + x3 +…+ xn

n-1

，
…

x1+x2+…+xn-1

≥

x1 + x2 +…+ xn-1

n-1

．
將上式累加，可得，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

(n-1) x1 +(n-1) x2 +…+(n-1) xn

n-1

=

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
故原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查向量法證明不等式的方法，考查推理能力，以及累加法，屬于難題．