已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

(I)  (II)

解析試題分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a2=b2+c2，解出a即可.(II)設A（x1，y1），B(x2，y2)，直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得到關于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x1+x2，x1x2的表達式，然后分以O或A或B為直角頂點，根據(jù)向量垂直的坐標表示的充要條件列出關于k的方程，求解即可.
試題解析：(Ⅰ)  
所以橢圓方程為 
(Ⅱ)由已知直線AB的斜率存在,設AB的方程為: 
由   得 
,得:,即 
設,  
(1)若為直角頂點,則 ,即 ,
,所以上式可整理得,
,解,得,滿足 
(2)若為直角頂點,不妨設以為直角頂點,,則滿足:
,解得,代入橢圓方程,整理得, 
解得,,滿足 
時,三角形為直角三角形  
考點：1.橢圓方程及其性質；2.直線與橢圓的相交的條件；3.向量垂直的充要條件.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點是橢圓：上一點，分別為的左右焦點，，的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線經過點，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知曲線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設，是軸上的兩點，過點分別作軸的垂線，與曲線分別交于點，直線與x軸交于點，這樣就稱確定了．同樣，可由確定了．現(xiàn)已知，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，
求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為 ，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且兩焦點和短軸的兩端構成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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