Question

15．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）與直線$x-\sqrt{2}y+4=0$相切．
（1）求該拋物線的方程；
（2）在x軸正半軸上，是否存在某個(gè)確定的點(diǎn)M，過該點(diǎn)的動(dòng)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，使得$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}$為定值．如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程有，$\left\{{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}y+4=0}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，通過△=0，求出p=4，即可求解拋物線方程．
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（m，0）（m＞0），直線l：x=ty+m，有$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，y²-8ty-8m=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）聯(lián)立方程有，$\left\{{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}y+4=0}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，有${y^2}-2\sqrt{2}py+8p=0$，由于直線與拋物線相切，得△=8p²-32p=0，p=4，所以y²=8x．（4分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（m，0）（m＞0），直線l：x=ty+m，有$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，y²-8ty-8m=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
有y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m，$|AM{|^2}={（{x_1}-m）^2}+y_1^2=（{t^2}+1）y_1^2$，$|BM{|^2}={（{x_2}-m）^2}+y_2^2=（{t^2}+1）y_2^2$，
$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}=\frac{1}{{（{t^2}+1）y_1^2}}+\frac{1}{{（{t^2}+1）y_2^2}}=\frac{1}{{（{t^2}+1）}}（\frac{y_1^2+y_2^2}{y_1^2y_2^2}）=\frac{1}{{（{t^2}+1）}}（\frac{{4{t^2}+m}}{{4{m^2}}}）$，
當(dāng)m=4時(shí)，$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}$為定值，所以M（4，0）．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．